Calcul intégral — Exercices d'approfondissement — 2ème année Bac Sciences Économiques

Série 2 — calculs d'intégrales, aires et surplus économique.

Calculer \(\displaystyle\int_0^1\left(3x^2+2\right)\mathrm{d}x\).

Correction

Une primitive est \(x^3+2x\). \(\left[x^3+2x\right]_0^1 = 3-0 = 3\).

Calculer \(\displaystyle\int_1^2\dfrac{\mathrm{d}x}{x}\).

Correction

\(\left[\ln x\right]_1^2 = \ln2-\ln1 = \ln2\approx0{,}69\).

Calculer \(\displaystyle\int_0^1e^{2x}\,\mathrm{d}x\).

Correction

Une primitive est \(\dfrac{e^{2x}}{2}\). \(\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{e^2-1}{2}\approx3{,}19\).

Calculer \(\displaystyle\int_0^1xe^x\,\mathrm{d}x\) par une intégration par parties.

Correction

On dérive \(x\) et on primitive \(e^x\) :

\[\int_0^1xe^x\,\mathrm{d}x = \left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1e^x\,\mathrm{d}x = e-(e-1) = 1.\]

Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes de \(f(x) = x\) et \(g(x) = x^2\) sur \([0\,;1]\).

Correction

Sur \([0\,;1]\), \(x\ge x^2\) donc \(f\) est au-dessus de \(g\).

\[\mathcal{A} = \int_0^1\left(x-x^2\right)\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac12-\frac13 = \frac16.\]

La fonction de demande est \(p = 20-q\). Le prix d'équilibre est \(10\), pour une quantité de \(10\). Calculer le surplus du consommateur.

Correction

\[SC = \int_0^{10}(20-q)\,\mathrm{d}q - 10\times10 = \left[20q-\frac{q^2}{2}\right]_0^{10} - 100.\]

\(= (200-50)-100 = 50\). Le surplus du consommateur vaut \(50\) unités monétaires.

Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;3]\).

Correction

\[\mu = \frac{1}{3-0}\int_0^3x^2\,\mathrm{d}x = \frac13\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac13\times9 = 3.\]