Série 2 — démonstrations, angles et configurations composées.
Exercice 1
\([BC]\) est un diamètre d'un cercle de centre \(O\) et de rayon \(5\) cm, et \(M\) est un point du cercle avec \(\widehat{MBC} = 35°\).
- Donner la nature du triangle \(BMC\) et justifier.
- Calculer \(\widehat{MCB}\).
- Calculer \(OM\).
Correction
- \(M\) appartient au cercle de diamètre \([BC]\), donc \(BMC\) est rectangle en \(M\).
- \(\widehat{MCB} = 90 - 35 = 55°\).
- \(OM = 5\) cm (c'est un rayon).
Exercice 2
\(ABC\) est rectangle en \(A\) et \(O\) est le milieu de \([BC]\).
- Montrer que le triangle \(OAB\) est isocèle.
- Si \(\widehat{B} = 32°\), calculer \(\widehat{OAB}\) puis \(\widehat{AOB}\).
Correction
- \(OA = OB\) (rayons du cercle circonscrit), donc \(OAB\) est isocèle en \(O\).
- \(\widehat{OAB} = \widehat{B} = 32°\), donc \(\widehat{AOB} = 180 - 64 = 116°\).
Exercice 3
Dans un triangle \(ABC\), \(AB = 7\) cm, \(AC = 24\) cm et \(BC = 25\) cm. On note \(O\) le milieu de \([BC]\) et on donne \(AO = 12{,}5\) cm.
- Que peut-on en déduire ?
- Calculer l'aire du triangle.
Correction
- \(AO = \dfrac{BC}{2}\), donc d'après la réciproque le triangle est rectangle en \(A\).
- \(\mathcal{A} = \dfrac{7\times24}{2} = 84\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 4
\(ABCD\) est un rectangle de centre \(O\), avec \(AC = 13\) cm.
- Calculer \(OA\), \(OB\), \(OC\) et \(OD\).
- Que peut-on dire des quatre sommets par rapport au cercle de centre \(O\) ?
Correction
- Les diagonales d'un rectangle sont égales et se coupent en leur milieu : \(OA = OB = OC = OD = 6{,}5\) cm.
- Ils appartiennent tous au même cercle de centre \(O\) et de rayon \(6{,}5\) cm.
Exercice 5
Construire un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) tel que \(BC = 8\) cm et \(AB = 5\) cm. Décrire la construction en utilisant le cercle.
Correction
On trace \([BC]\) de \(8\) cm et le cercle de diamètre \([BC]\). On trace ensuite l'arc de centre \(B\) et de rayon \(5\) cm : il coupe le cercle en \(A\). Le triangle \(ABC\) est alors rectangle en \(A\).
Exercice 6
\(ABC\) est rectangle en \(A\) et \(O\) est le milieu de \([BC]\). \(M\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\).
- Montrer que \(ABMC\) est un parallélogramme.
- En déduire sa nature exacte.
Correction
- Les diagonales \([AM]\) et \([BC]\) se coupent en leur milieu \(O\) : c'est un parallélogramme.
- Ses diagonales ont la même longueur (\(AM = 2\,OA = BC\)) : c'est un rectangle.