1. Le théorème
Si un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[BC^2 = AB^2 + AC^2\]
Figure — l'aire du grand carré est la somme des aires des deux autres
Calculer une longueur
- L'hypoténuse : \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\). Exemple : \(AB = 6\), \(AC = 8\) donne \(BC = \sqrt{100} = 10\).
- Un côté de l'angle droit : \(AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}\). Exemple : \(BC = 13\), \(AC = 5\) donne \(AB = \sqrt{144} = 12\).
2. La réciproque
Si dans un triangle \(ABC\) on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle est rectangle en \(A\).
3. La contraposée
Si \(BC^2\neq AB^2 + AC^2\) (où \([BC]\) est le plus grand côté), alors le triangle n'est pas rectangle.
Méthode pour savoir si un triangle est rectangle
On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis on compare. Exemple : \(7\), \(24\), \(25\) : \(25^2 = 625\) et \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\) : le triangle est rectangle.
4. Racine carrée
\(\sqrt{a}\) (pour \(a\ge0\)) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) : \(\sqrt{49} = 7\), \(\sqrt{2}\approx1{,}414\).