1. Projeté orthogonal d'un point
Soit \((D)\) une droite et \(M\) un point. Le projeté orthogonal de \(M\) sur \((D)\) est le point \(H\), intersection de \((D)\) et de la perpendiculaire à \((D)\) passant par \(M\).
- Si \(M\in(D)\), son projeté est \(M\) lui-même.
- \(MH\) est la distance du point \(M\) à la droite \((D)\) : c'est la plus courte distance entre \(M\) et un point de \((D)\).
Figure — H est le projeté orthogonal de M sur (D)
2. Projection d'un segment
Le projeté du segment \([AB]\) sur \((D)\) est le segment \([A'B']\) où \(A'\) et \(B'\) sont les projetés de \(A\) et \(B\).
- Si \((AB)\parallel(D)\), alors \(A'B' = AB\).
- Si \((AB)\perp(D)\), alors \(A' = B'\) (le projeté est un point).
- Dans les autres cas, \(A'B' < AB\).
3. Projection et milieu
La projection orthogonale conserve le milieu : si \(I\) est le milieu de \([AB]\), son projeté \(I'\) est le milieu de \([A'B']\).
4. Hauteur d'un triangle
La hauteur issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\) est le segment \([AH]\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).