Durée : 45 minutes. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Définir le projeté orthogonal d'un point \(M\) sur une droite \((D)\). Que vaut ce projeté si \(M\in(D)\) ?
Correction
C'est le point d'intersection de \((D)\) avec la perpendiculaire à \((D)\) passant par \(M\). Si \(M\in(D)\), le projeté est \(M\).
Exercice 2 (14 pts)
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) avec \(AB = 6\) cm et \(AC = 8\) cm. \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
- Calculer \(BC\). (4 pts)
- Calculer l'aire du triangle \(ABC\) de deux façons et en déduire \(AH\). (6 pts)
- Quel est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) ? (4 pts)
Correction
- \(BC = \sqrt{36 + 64} = 10\) cm.
- Aire \(= \frac{AB\times AC}{2} = 24\) cm², et aire \(= \frac{BC\times AH}{2} = 5AH\). Donc \(AH = 4{,}8\) cm.
- \((CA)\perp(AB)\) : le projeté de \(C\) sur \((AB)\) est \(A\).