Durée : 45 minutes. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \((C)\) un cercle de centre \(O\) et de diamètre \([AB]\) avec \(AB = 7\) cm, et \(M\) un point de \((C)\) distinct de \(A\) et \(B\).
- Quelle est la nature du triangle \(AMB\) ? Justifier. (4 pts)
- Calculer \(OM\). (4 pts)
Correction
- Rectangle en \(M\) (inscrit dans un cercle de diamètre \([AB]\)).
- \(OM\) est un rayon : \(3{,}5\) cm.
Exercice 2 (12 pts)
\(EFG\) est un triangle rectangle en \(E\) tel que \(FG = 10\) cm. \(I\) est le milieu de \([FG]\) et \(J\) le milieu de \([EF]\).
- Calculer \(EI\). (3 pts)
- Montrer que \((IJ)\parallel(EG)\). (3 pts)
- En déduire que \((IJ)\perp(EF)\). (3 pts)
- Quelle est la nature du triangle \(EIF\) ? (3 pts)
Correction
- \(EI = 5\) cm.
- \(I\), \(J\) milieux de deux côtés du triangle \(EFG\) : \((IJ)\parallel(EG)\).
- \((EG)\perp(EF)\) et \((IJ)\parallel(EG)\), donc \((IJ)\perp(EF)\).
- \(IE = IF = 5\) cm : \(EIF\) est isocèle en \(I\).