Durée : 1 heure. Barème sur 20. Les justifications sont exigées.
Exercice 1 (5 pts)
\(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(BC = 14\) cm, et \(O\) est le milieu de \([BC]\).
- Où se trouve le centre du cercle circonscrit ? (2 pts)
- Calculer \(OA\) et le rayon du cercle. (3 pts)
Correction
- Au milieu de \([BC]\), c'est-à-dire en \(O\).
- \(OA = r = 7\) cm.
Exercice 2 (5 pts)
\([BC]\) est un diamètre d'un cercle et \(M\) est un point du cercle, distinct de \(B\) et \(C\).
- Démontrer que \(BMC\) est rectangle en \(M\). (3 pts)
- Si \(\widehat{MBC} = 28°\), calculer \(\widehat{MCB}\). (2 pts)
Correction
- On sait que \(M\) appartient au cercle de diamètre \([BC]\). Or, si un point appartient au cercle de diamètre \([BC]\), le triangle est rectangle en ce point. Donc \(BMC\) est rectangle en \(M\).
- \(\widehat{MCB} = 90 - 28 = 62°\).
Exercice 3 (5 pts)
Dans un triangle \(ABC\), \(O\) est le milieu de \([BC]\), \(BC = 18\) cm et \(AO = 9\) cm.
- Que peut-on en déduire ? Rédiger la démonstration. (3 pts)
- Donner le rayon du cercle circonscrit. (2 pts)
Correction
- On sait que \(AO = \dfrac{BC}{2}\) et que \(O\) est le milieu de \([BC]\). Or, si la médiane issue de \(A\) mesure la moitié de \([BC]\), alors le triangle est rectangle en \(A\). Donc \(ABC\) est rectangle en \(A\).
- \(r = 9\) cm.
Exercice 4 (5 pts)
\(ABC\) est rectangle en \(A\), \(O\) est le milieu de \([BC]\) et \(\widehat{B} = 40°\).
- Calculer \(\widehat{C}\). (2 pts)
- Montrer que le triangle \(OAC\) est isocèle, puis calculer \(\widehat{OAC}\). (3 pts)
Correction
- \(\widehat{C} = 90 - 40 = 50°\).
- \(OA = OC\) (rayons), donc \(OAC\) est isocèle en \(O\) et \(\widehat{OAC} = \widehat{C} = 50°\).