Série 2 — démonstrations complètes et configurations à deux triangles.
Exercice 1
\(ABCD\) est un quadrilatère quelconque. \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) sont les milieux de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\).
- Dans le triangle \(ABC\), que peut-on dire de \((IJ)\) et de \(IJ\) ?
- Dans le triangle \(ACD\), que peut-on dire de \((LK)\) et de \(LK\) ?
- En déduire la nature de \(IJKL\).
Correction
- \((IJ)\parallel(AC)\) et \(IJ = \dfrac{AC}{2}\).
- \((LK)\parallel(AC)\) et \(LK = \dfrac{AC}{2}\).
- \([IJ]\) et \([LK]\) sont parallèles et de même longueur : \(IJKL\) est un parallélogramme.
Exercice 2
Dans \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([AC]\). \(M\) est le symétrique de \(I\) par rapport à \(J\).
- Montrer que \(IJ = JM\).
- Montrer que \(IM = BC\).
Correction
- Par définition du symétrique, \(J\) est le milieu de \([IM]\), donc \(IJ = JM\).
- \(IM = 2\,IJ = 2\times\dfrac{BC}{2} = BC\).
Exercice 3
\(ABC\) est un triangle de périmètre \(48\) cm et d'aire \(60\ \mathrm{cm}^2\). \(IJK\) est son triangle des milieux.
- Calculer le périmètre de \(IJK\).
- Calculer son aire.
Correction
- \(24\) cm.
- \(15\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 4
Dans un triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([AB]\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(I\) coupe \([AC]\) en \(J\), et on donne \(AC = 14\) cm.
- Que peut-on dire de \(J\) ? Justifier.
- Calculer \(AJ\).
Correction
- D'après la réciproque du théorème des milieux, \(J\) est le milieu de \([AC]\).
- \(AJ = 7\) cm.
Exercice 5
\(ABC\) est un triangle, \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\). \(G\) est le point d'intersection de \([BJ]\) et \([CI]\).
- Que représente \(G\) pour le triangle ?
- Si \(BJ = 12\) cm, calculer \(BG\).
Correction
- \([BJ]\) et \([CI]\) sont deux médianes : \(G\) est le centre de gravité.
- \(BG = \dfrac23\times12 = 8\) cm.
Exercice 6
Dans un trapèze \(ABCD\) de bases \([AB]\) et \([CD]\), \(I\) et \(J\) sont les milieux des côtés \([AD]\) et \([BC]\). On admet que \(IJ = \dfrac{AB + CD}{2}\). Calculer \(IJ\) si \(AB = 9\) cm et \(CD = 15\) cm.
Correction
\(IJ = \dfrac{9 + 15}{2} = 12\) cm.