Durée : 1 heure. Barème sur 20. Les démonstrations doivent être rédigées.
Exercice 1 (5 pts)
Dans \(ABC\), \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([AB]\) et \([AC]\).
- Énoncer le théorème des milieux. (2 pts)
- Si \(BC = 17\) cm, calculer \(IJ\). (3 pts)
Correction
- La droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et le segment en mesure la moitié.
- \(IJ = 8{,}5\) cm.
Exercice 2 (5 pts)
Dans \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([AB]\) et la parallèle à \((BC)\) passant par \(I\) coupe \((AC)\) en \(J\).
- Démontrer que \(J\) est le milieu de \([AC]\). (3 pts)
- Si \(AC = 16\) cm, calculer \(JC\). (2 pts)
Correction
- On sait que \(I\) est le milieu de \([AB]\) et que \((IJ)\parallel(BC)\). Or, dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième en son milieu. Donc \(J\) est le milieu de \([AC]\).
- \(JC = 8\) cm.
Exercice 3 (5 pts)
\(ABC\) a pour côtés \(AB = 10\) cm, \(AC = 14\) cm et \(BC = 16\) cm. \(I\), \(J\), \(K\) sont les milieux de \([AB]\), \([AC]\) et \([BC]\).
- Calculer les trois côtés de \(IJK\). (3 pts)
- Comparer les périmètres de \(IJK\) et de \(ABC\). (2 pts)
Correction
- \(IJ = 8\) cm, \(JK = 5\) cm, \(IK = 7\) cm.
- Périmètre de \(IJK\) : \(20\) cm ; celui de \(ABC\) : \(40\) cm. Le premier est la moitié du second.
Exercice 4 (5 pts)
\(ABCD\) est un quadrilatère quelconque et \(I\), \(J\), \(K\), \(L\) sont les milieux de ses côtés \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\).
- En traçant la diagonale \([AC]\), démontrer que \((IJ)\parallel(LK)\). (3 pts)
- Conclure sur la nature de \(IJKL\). (2 pts)
Correction
- Dans le triangle \(ABC\) : \((IJ)\parallel(AC)\) et \(IJ = \frac{AC}{2}\). Dans le triangle \(ACD\) : \((LK)\parallel(AC)\) et \(LK = \frac{AC}{2}\). Donc \((IJ)\parallel(LK)\).
- \([IJ]\) et \([LK]\) sont parallèles et de même longueur : \(IJKL\) est un parallélogramme.