Série 2 — constructions, démonstrations et chemins les plus courts.
Exercice 1
\(ABC\) est un triangle isocèle en \(A\) et \((\Delta)\) est la médiatrice de \([BC]\).
- Quel est le symétrique de \(B\) par rapport à \((\Delta)\) ?
- Quel est le symétrique de \(A\) ?
- En déduire que \((\Delta)\) est un axe de symétrie du triangle.
Correction
- C'est \(C\). 2. C'est \(A\) lui-même, car \(AB = AC\) donc \(A\) appartient à la médiatrice de \([BC]\).
- Les trois sommets ont pour images des sommets du triangle : la figure est sa propre image.
Exercice 2
\(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \((\Delta)\), et \(M''\) le symétrique de \(M'\) par rapport à la même droite. Que peut-on dire de \(M''\) ?
Correction
\(M'' = M\) : appliquer deux fois la même symétrie axiale ramène au point de départ.
Exercice 3
Dans un repère, le symétrique de \(M(x\,;y)\) par rapport à l'axe des ordonnées est \((-x\,;y)\). Donner l'image de \(A(3\,;-4)\), puis celle de \(B(-2\,;5)\).
Correction
\(A'(-3\,;-4)\) et \(B'(2\,;5)\).
Exercice 4
\(ABCD\) est un losange de centre \(O\). Quelle est l'image de \(B\) par la symétrie d'axe \((AC)\) ? Justifier.
Correction
C'est \(D\) : dans un losange, \((AC)\) est la médiatrice de \([BD]\).
Exercice 5
Un point \(M\) est à \(4\) cm de l'axe \((\Delta)\). À quelle distance de \(M\) se trouve son symétrique \(M'\) ?
Correction
\(MM' = 2\times4 = 8\) cm.
Exercice 6
Deux villages \(A\) et \(B\) sont du même côté d'une route rectiligne. On veut construire un arrêt de bus \(P\) sur la route tel que \(AP + PB\) soit le plus court possible.
- Construire le symétrique \(A'\) de \(A\) par rapport à la route.
- Expliquer pourquoi \(P\) est l'intersection de \([A'B]\) avec la route.
Correction
- On trace la perpendiculaire à la route passant par \(A\) et on reporte la distance.
- Par symétrie \(AP = A'P\), donc \(AP + PB = A'P + PB\). Ce chemin est le plus court quand \(A'\), \(P\) et \(B\) sont alignés : \(P\) est donc l'intersection de \([A'B]\) avec la route.
Exercice 7
Un triangle a une aire de \(21\ \mathrm{cm}^2\) et un périmètre de \(24\) cm. Donner l'aire et le périmètre de son image par une symétrie axiale.
Correction
Les mêmes : \(21\ \mathrm{cm}^2\) et \(24\) cm.