1. Développer
Développer un produit, c'est l'écrire sous forme de somme.
\[k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\]
Exemple : \((2x - 3)(x + 4) = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12\).
2. Identités remarquables
Pour tous nombres \(a\) et \(b\) :
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]
Figure — \((a + b)^2\) vu comme l'aire d'un carré
Exemples :
- \((x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\)
- \((3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4\)
- \((x + 7)(x - 7) = x^2 - 49\)
- Calcul mental : \(102^2 = (100 + 2)^2 = 10\,000 + 400 + 4 = 10\,404\).
3. Factoriser
Factoriser une somme, c'est l'écrire sous forme de produit.
- Facteur commun : \(ka + kb = k(a + b)\). Exemple : \((x + 1)(2x - 3) + (x + 1)(x + 5) = (x + 1)(3x + 2)\).
- Identités remarquables lues de droite à gauche :
\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \qquad a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]
Exemple : \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) ; \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\).