1. Puissances d'exposant entier
Pour \(a\neq0\) et \(n\) entier naturel non nul : \(a^n = a\times a\times\cdots\times a\) (\(n\) facteurs) et \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Par convention \(a^0 = 1\).
Exemples : \(2^{-3} = \frac18\) ; \(\left(\frac23\right)^{-2} = \frac94\).
Signe
Si \(a < 0\), \(a^n\) est positif quand \(n\) est pair, négatif quand \(n\) est impair.
2. Propriétés (\(a\), \(b\) non nuls ; \(m\), \(n\) entiers relatifs)
\[a^m\times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn}\]
\[(ab)^n = a^nb^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]
Exemple : \(\frac{5^3\times5^{-7}}{5^{-2}} = 5^{3 - 7 + 2} = 5^{-2} = \frac{1}{25}\).
3. Puissances de 10
\(10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}\) et \(10^{-n} = 0{,}\underbrace{0\dots0}_{n-1}1\). Exemple : \(10^{-3} = 0{,}001\).
4. Écriture scientifique
Un nombre décimal positif s'écrit de façon unique sous la forme \(a\times10^p\) avec \(1\le a < 10\) et \(p\) entier relatif.
Exemples : \(45\,000 = 4{,}5\times10^4\) ; \(0{,}00072 = 7{,}2\times10^{-4}\). Utilisé en sciences : la vitesse de la lumière est environ \(3\times10^8\) m/s.