Série 2 — aires totales, contenances et comparaisons. On prendra \(\pi\approx3{,}14\).
Exercice 1
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés \(5\) cm, \(12\) cm et \(13\) cm, et une hauteur de \(9\) cm.
- Calculer l'aire de la base et le volume.
- Calculer l'aire latérale, puis l'aire totale.
Correction
- Base : \(\dfrac{5\times12}{2} = 30\ \mathrm{cm}^2\) ; volume : \(270\ \mathrm{cm}^3\).
- Périmètre \(= 30\) cm, donc \(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 270\ \mathrm{cm}^2\) et \(\mathcal{A}_{\text{tot}} = 270 + 60 = 330\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 2
Un cylindre a un volume de \(720\pi\ \mathrm{cm}^3\) et une hauteur de \(20\) cm. Calculer son rayon.
Correction
\(\pi r^2\times20 = 720\pi\), donc \(r^2 = 36\) et \(r = 6\) cm.
Exercice 3
Un réservoir cylindrique a un rayon de \(40\) cm et une hauteur de \(1{,}5\) m.
- Convertir en dm.
- Calculer sa contenance en litres.
Correction
- \(r = 4\) dm, \(h = 15\) dm.
- \(V = \pi\times16\times15 = 240\pi\approx754\ \mathrm{dm}^3\), soit environ \(754\) litres.
Exercice 4
Deux cylindres ont la même hauteur ; le second a un rayon trois fois plus grand.
- Comparer leurs aires latérales.
- Comparer leurs volumes.
Correction
- L'aire latérale \(2\pi r h\) est multipliée par \(3\).
- Le volume \(\pi r^2 h\) est multiplié par \(9\).
Exercice 5
Une piscine a la forme d'un prisme droit dont la base est un trapèze d'aire \(12\ \mathrm{m}^2\), et sa longueur est de \(10\) m.
- Calculer son volume.
- Combien de litres d'eau contient-elle ?
Correction
- \(12\times10 = 120\ \mathrm{m}^3\).
- \(120\,000\) litres.
Exercice 6
Une boîte cubique d'arête \(10\) cm est remplie d'eau. On verse cette eau dans un cylindre de rayon \(5\) cm.
- Calculer le volume d'eau.
- Quelle hauteur atteint l'eau dans le cylindre ?
Correction
- \(1\,000\ \mathrm{cm}^3\).
- \(\pi\times25\times h = 1\,000\), donc \(h = \dfrac{1\,000}{25\pi}\approx12{,}7\) cm.
Exercice 7
Un tuyau cylindrique a un rayon intérieur de \(3\) cm et une longueur de \(2\) m. Calculer son volume en litres.
Correction
\(h = 200\) cm, donc \(V = \pi\times9\times200 = 1\,800\pi\approx5\,652\ \mathrm{cm}^3\), soit environ \(5{,}65\) litres.