Série 2 — constructions, coordonnées et démonstrations.
Exercice 1
Dans un repère, \(A(1\,;2)\), \(B(5\,;4)\) et \(C(-2\,;3)\).
- Donner les coordonnées de \(\vec{AB}\).
- Calculer les coordonnées de \(D\), image de \(C\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\).
- Quelle est la nature de \(ABDC\) ?
Correction
- \(\vec{AB}\,(4\,;2)\).
- \(D(-2+4\,;3+2) = D(2\,;5)\).
- \(\vec{AB} = \vec{CD}\), donc \(ABDC\) est un parallélogramme.
Exercice 2
\(ABCD\) est un parallélogramme. Donner l'image de \(A\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\), puis celle de \(D\).
Correction
L'image de \(A\) est \(B\) ; l'image de \(D\) est \(C\) (car \(\vec{DC} = \vec{AB}\)).
Exercice 3
Montrer que si \(\vec{AB} = \vec{CD}\), alors \(\vec{AC} = \vec{BD}\).
Correction
\(\vec{AB} = \vec{CD}\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme. Dans ce parallélogramme, \([AC]\) et \([BD]\) sont deux côtés opposés : ils sont parallèles et de même longueur, donc \(\vec{AC} = \vec{BD}\).
Exercice 4
Dans un repère, \(\vec{u}\,(-3\,;5)\). Donner les images de \(A(2\,;1)\), \(B(0\,;-4)\) et \(C(-1\,;0)\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\).
Correction
\(A'(-1\,;6)\) ; \(B'(-3\,;1)\) ; \(C'(-4\,;5)\).
Exercice 5
L'image de \(M(4\,;-1)\) par une translation de vecteur \(\vec{u}\) est \(M'(1\,;3)\). Donner les coordonnées de \(\vec{u}\).
Correction
\(\vec{u}\,(1-4\,;3+1) = \vec{u}\,(-3\,;4)\).
Exercice 6
\(ABC\) est un triangle. \(A'\), \(B'\), \(C'\) sont les images de \(A\), \(B\), \(C\) par une même translation. On donne \(AB = 6\) cm, \(BC = 8\) cm, \(AC = 5\) cm et une aire de \(14\ \mathrm{cm}^2\).
- Donner le périmètre de \(A'B'C'\).
- Donner son aire.
- Que peut-on dire des droites \((AB)\) et \((A'B')\) ?
Correction
- \(19\) cm. 2. \(14\ \mathrm{cm}^2\). 3. Elles sont parallèles.
Exercice 7
Comparer la translation et la symétrie centrale : qu'ont-elles en commun, qu'est-ce qui les distingue ?
Correction
Les deux conservent longueurs, angles et aires, et transforment une droite en une droite parallèle. Mais la symétrie centrale est un demi-tour (la figure est retournée de \(180°\)), alors que la translation est un simple glissement sans rotation.