1. Translation
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. La translation qui transforme \(A\) en \(B\) associe à tout point \(M\) le point \(M'\) tel que \(ABM'M\) soit un parallélogramme (éventuellement aplati).
On dit que \(M'\) est l'image de \(M\) par cette translation : on « fait glisser » \(M\) comme on fait glisser \(A\) vers \(B\), même direction, même sens, même longueur.
Figure — la translation qui transforme A en B transforme le triangle MNP en M'N'P'
2. Vecteur
La translation qui transforme \(A\) en \(B\) est appelée translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa longueur (ou norme) : la distance \(AB\).
3. Vecteurs égaux
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati) : les deux vecteurs ont même direction, même sens et même longueur.
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\).
4. Propriétés de la translation
La translation conserve les distances, les angles, l'alignement et le parallélisme.
- L'image d'un segment est un segment de même longueur.
- L'image d'une droite est une droite parallèle à celle-ci.
- L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.