Série 2 — figures composées, Pythagore et problèmes concrets.
Exercice 1
\(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 5\) cm et \(AC = 12\) cm.
- Calculer \(BC\).
- Calculer \(\cos(\widehat{B})\) puis \(\widehat{B}\).
- En déduire \(\widehat{C}\).
Correction
- \(BC^2 = 25 + 144 = 169\), donc \(BC = 13\) cm.
- \(\cos(\widehat{B}) = \dfrac{5}{13}\approx0{,}385\), donc \(\widehat{B}\approx67{,}4°\).
- \(\widehat{C} = 90 - 67{,}4 = 22{,}6°\).
Exercice 2
Une échelle de \(4\) m est appuyée contre un mur et forme un angle de \(65°\) avec le sol.
- À quelle distance du mur se trouve son pied ?
- Jusqu'à quelle hauteur monte-t-elle ? (On utilisera Pythagore.)
Correction
- \(d = 4\times\cos(65°)\approx1{,}7\) m.
- \(h^2 = 16 - 1{,}7^2\approx13{,}1\), donc \(h\approx3{,}6\) m.
Exercice 3
Dans un triangle rectangle, \(\cos(\widehat{B}) = \dfrac{3}{5}\) et l'hypoténuse mesure \(20\) cm. Calculer le côté adjacent à \(\widehat{B}\), puis le troisième côté.
Correction
Adjacent \(= 20\times\dfrac35 = 12\) cm. Troisième côté : \(\sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\) cm.
Exercice 4
Un toboggan de \(6\) m de long forme un angle de \(30°\) avec le sol.
- Calculer la distance horizontale parcourue.
- Donner la valeur exacte puis approchée.
Correction
\(d = 6\times\cos(30°) = 6\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3\approx5{,}2\) m.
Exercice 5
\(ABCD\) est un rectangle avec \(AB = 8\) cm et \(BC = 6\) cm.
- Calculer la diagonale \(AC\).
- Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\).
Correction
- \(AC^2 = 64 + 36 = 100\), donc \(AC = 10\) cm.
- \(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\), donc \(\widehat{BAC}\approx36{,}9°\).
Exercice 6
Un triangle isocèle \(ABC\) en \(A\) a pour base \(BC = 12\) cm et pour côtés \(AB = AC = 10\) cm. \(H\) est le milieu de \([BC]\).
- Calculer \(\cos(\widehat{B})\).
- En déduire \(\widehat{B}\), puis \(\widehat{A}\).
Correction
- Dans le triangle \(ABH\) rectangle en \(H\) : \(\cos(\widehat{B}) = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\).
- \(\widehat{B}\approx53{,}1°\) ; \(\widehat{C} = \widehat{B}\), donc \(\widehat{A}\approx180 - 106{,}2 = 73{,}8°\).