1. Comparer deux nombres
\(a\le b\) signifie que \(b - a\ge0\). Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de leur différence.
Exemple : comparer \(\frac{3}{7}\) et \(0{,}4\) : \(\frac37 - 0{,}4 = \frac{30 - 28}{70} = \frac{2}{70} > 0\), donc \(\frac37 > 0{,}4\).
2. Ordre et addition
Si \(a\le b\), alors \(a + c\le b + c\) et \(a - c\le b - c\) : on peut ajouter ou soustraire un même nombre sans changer le sens.
3. Ordre et multiplication
Si \(a\le b\) et \(c > 0\), alors \(ac\le bc\) (le sens ne change pas).
Si \(a\le b\) et \(c < 0\), alors \(ac\ge bc\) (le sens change).
Exemple : \(x\le3\) donne \(-2x\ge-6\).
4. Additionner des inégalités
Si \(a\le b\) et \(c\le d\), alors \(a + c\le b + d\).
5. Encadrement
On encadre une expression à partir d'un encadrement de \(x\). Exemple : si \(2\le x\le5\), alors \(6\le3x\le15\) et \(7\le3x + 1\le16\).
Figure — l'ensemble des nombres x tels que 2 ≤ x ≤ 5
6. Inéquations
Résoudre \(3x - 4 < 8\) : \(3x < 12\), donc \(x < 4\). On représente les solutions sur une droite graduée.