Série 2 — encadrements, inéquations et problèmes.
Exercice 1
On donne \(3 < x < 5\) et \(1 < y < 4\). Encadrer \(x + y\), puis \(x - y\).
Correction
\(4 < x + y < 9\). Pour \(x - y\) : \(-4 < -y < -1\), donc \(3 - 4 < x - y < 5 - 1\), soit \(-1 < x - y < 4\).
Exercice 2
On donne \(2 < x < 7\). Encadrer \(5 - 2x\).
Correction
\(4 < 2x < 14\), donc \(-14 < -2x < -4\) et \(-9 < 5 - 2x < 1\).
Exercice 3
Résoudre \(3(x - 2) \le 2x + 1\).
Correction
\(3x - 6 \le 2x + 1\), donc \(x \le 7\).
Exercice 4
Résoudre \(\dfrac{x}{3} - 1 > 2\).
Correction
\(\dfrac{x}{3} > 3\), donc \(x > 9\).
Exercice 5
Résoudre \(-5x + 2 \ge 17\) et représenter les solutions sur une droite graduée.
Correction
\(-5x \ge 15\), donc \(x \le -3\) : la demi-droite des nombres inférieurs ou égaux à \(-3\), crochet fermé en \(-3\).
Exercice 6
Un taxi facture \(15\) dh de prise en charge plus \(7\) dh par kilomètre. Un client dispose de \(100\) dh.
- Écrire l'inéquation traduisant la situation.
- Combien de kilomètres peut-il parcourir au maximum ?
Correction
- \(15 + 7k \le 100\).
- \(7k \le 85\), donc \(k \le 12{,}14\) : il peut parcourir au plus \(12\) km entiers.
Exercice 7
Comparer \(a^2\) et \(a\) selon les cas : \(a = 0{,}5\), \(a = 1\), \(a = 3\). Que remarque-t-on ?
Correction
\(0{,}25 < 0{,}5\) ; \(1 = 1\) ; \(9 > 3\). Pour \(0 < a < 1\) on a \(a^2 < a\), et pour \(a > 1\) on a \(a^2 > a\).