Série 2 — constructions, calculs de distances et liens avec Pythagore.
Exercice 1
\(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 6\) cm et \(AC = 8\) cm, et \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
- Calculer \(BC\).
- Calculer l'aire du triangle de deux façons et en déduire \(AH\).
Correction
- \(BC^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(BC = 10\) cm.
- \(\mathcal{A} = \dfrac{6\times8}{2} = 24\ \mathrm{cm}^2 = \dfrac{10\times AH}{2}\), donc \(AH = 4{,}8\) cm.
Exercice 2
Un point \(M\) est à \(5\) cm d'une droite \((D)\), et \(P\) est un point de \((D)\) tel que \(HP = 12\) cm (\(H\) étant le projeté de \(M\)).
- Quelle est la nature du triangle \(MHP\) ?
- Calculer \(MP\).
Correction
- Il est rectangle en \(H\).
- \(MP^2 = 25 + 144 = 169\), donc \(MP = 13\) cm.
Exercice 3
\(ABC\) est isocèle en \(A\) avec \(BC = 10\) cm et \(AB = AC = 13\) cm. \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
- Pourquoi \(H\) est-il le milieu de \([BC]\) ?
- Calculer \(AH\), puis l'aire du triangle.
Correction
- Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane.
- \(BH = 5\) cm donc \(AH^2 = 169 - 25 = 144\) et \(AH = 12\) cm ; \(\mathcal{A} = \dfrac{10\times12}{2} = 60\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 4
Tracer une droite \((D)\) et un segment \([AB]\) oblique par rapport à \((D)\), puis construire son projeté \([A'B']\). Comparer \(AB\) et \(A'B'\), puis expliquer dans quel cas il y aurait égalité.
Correction
On obtient \(A'B' < AB\). Il y aurait égalité seulement si \((AB)\) était parallèle à \((D)\).
Exercice 5
Trois droites parallèles coupent une sécante en \(A\), \(B\), \(C\) avec \(AB = BC\). Elles coupent une autre sécante en \(A'\), \(B'\), \(C'\). Que peut-on dire de \(A'B'\) et \(B'C'\) ?
Correction
\(A'B' = B'C'\) : des parallèles qui découpent des segments égaux sur une sécante en découpent aussi d'égaux sur toute autre sécante.
Exercice 6
Un point \(M\) est situé à \(8\) cm d'une droite \((D)\). On cherche les points \(P\) de \((D)\) tels que \(MP = 10\) cm.
- Quelle est la nature du triangle \(MHP\) ?
- Calculer \(HP\) et dire combien il y a de points \(P\).
Correction
- Rectangle en \(H\).
- \(HP^2 = 100 - 64 = 36\), donc \(HP = 6\) cm : il y a deux points \(P\), un de chaque côté de \(H\).