Durée : 1 heure. Barème sur 20. Les constructions doivent rester visibles.
Exercice 1 (5 pts)
- Définir le projeté orthogonal d'un point sur une droite. (2 pts)
- Expliquer pourquoi \(MH\) est la plus courte distance de \(M\) à \((D)\). (3 pts)
Correction
- C'est le point d'intersection de la droite avec la perpendiculaire menée par le point.
- Pour tout autre point \(P\) de \((D)\), le triangle \(MHP\) est rectangle en \(H\), donc \([MP]\) est l'hypoténuse : c'est le plus grand côté, d'où \(MH < MP\).
Exercice 2 (5 pts)
Compléter et justifier :
- Le projeté d'un segment parallèle à \((D)\) est … (2 pts)
- Le projeté d'un segment perpendiculaire à \((D)\) est … (3 pts)
Correction
- Un segment de même longueur.
- Un point.
Exercice 3 (5 pts)
\(ABC\) est isocèle en \(A\) avec \(BC = 16\) cm et \(AB = AC = 17\) cm, et \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
- Justifier que \(H\) est le milieu de \([BC]\). (2 pts)
- Calculer \(AH\) puis l'aire du triangle. (3 pts)
Correction
- Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane de la base.
- \(BH = 8\) cm, \(AH^2 = 289 - 64 = 225\) donc \(AH = 15\) cm ; \(\mathcal{A} = \dfrac{16\times15}{2} = 120\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 4 (5 pts)
Un point \(M\) est à \(9\) cm d'une droite \((D)\), de projeté \(H\). Un point \(P\) de \((D)\) vérifie \(HP = 12\) cm.
- Quelle est la nature du triangle \(MHP\) ? (2 pts)
- Calculer \(MP\). (3 pts)
Correction
- Rectangle en \(H\).
- \(MP^2 = 81 + 144 = 225\), donc \(MP = 15\) cm.