Série 2 — figures composées, hauteurs et problèmes concrets.
Exercice 1
\(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 9\) cm et \(AC = 12\) cm.
- Calculer \(BC\).
- Calculer l'aire du triangle de deux façons.
- En déduire la hauteur issue de \(A\).
Correction
- \(BC^2 = 81 + 144 = 225\), donc \(BC = 15\) cm.
- \(\mathcal{A} = \dfrac{9\times12}{2} = 54\ \mathrm{cm}^2\), et aussi \(\dfrac{15\times AH}{2}\).
- \(AH = \dfrac{2\times54}{15} = 7{,}2\) cm.
Exercice 2
Une échelle de \(5\) m est appuyée contre un mur ; son pied est à \(1{,}4\) m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Arrondir au centimètre.
Correction
\(h^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04\), donc \(h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\) m.
Exercice 3
Un triangle isocèle \(ABC\) a pour base \(BC = 16\) cm et pour côtés \(AB = AC = 10\) cm. \(H\) est le milieu de \([BC]\).
- Pourquoi le triangle \(ABH\) est-il rectangle en \(H\) ?
- Calculer \(AH\).
- En déduire l'aire du triangle \(ABC\).
Correction
- Dans un triangle isocèle, la médiane issue de \(A\) est aussi hauteur : \((AH)\perp(BC)\).
- \(BH = 8\) cm, donc \(AH^2 = 100 - 64 = 36\) et \(AH = 6\) cm.
- \(\mathcal{A} = \dfrac{16\times6}{2} = 48\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 4
Un terrain rectangulaire mesure \(60\) m sur \(80\) m. Un chemin diagonal le traverse.
- Calculer la longueur du chemin.
- Combien de mètres économise-t-on en passant par la diagonale plutôt que par deux côtés ?
Correction
- \(d^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000\), donc \(d = 100\) m.
- \(60 + 80 - 100 = 40\) m.
Exercice 5
Un bateau part d'un port, navigue \(9\) km vers l'est puis \(12\) km vers le nord. À quelle distance du port se trouve-t-il ?
Correction
\(d^2 = 81 + 144 = 225\), donc \(d = 15\) km.
Exercice 6
Un triangle a pour côtés \(7\) cm, \(24\) cm et \(25\) cm.
- Est-il rectangle ? Justifier.
- Si oui, calculer son aire.
Correction
- \(25^2 = 625\) et \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\) : il est rectangle (l'angle droit est opposé au côté de \(25\) cm).
- \(\mathcal{A} = \dfrac{7\times24}{2} = 84\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 7
Dans un cube d'arête \(6\) cm, calculer la diagonale d'une face (valeur exacte puis approchée).
Correction
\(d^2 = 36 + 36 = 72\), donc \(d = \sqrt{72}\approx8{,}5\) cm.