L'essentiel en une page
| Suite | Relation | Terme général |
|---|---|---|
| Arithmétique | \(u_{n+1} = u_n + r\) | \(u_0 + nr\) |
| Géométrique | \(u_{n+1} = q\,u_n\) | \(u_0\,q^n\) |
| Arithmético-géométrique | \(u_{n+1} = au_n + b\) | poser \(v_n = u_n - \ell\) |
Point fixe : \(\ell\) est la solution de \(\ell = a\ell + b\) ; alors \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\).
| Somme | Formule |
|---|---|
| Arithmétique | \(\dfrac{\text{nb}\times(\text{1er} + \text{dernier})}{2}\) |
| Géométrique | \(u_0\dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}\) |
| \(\sum k\) | \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) |
| \(\sum k^2\) | \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) |
| \(\sum k^3\) | \(\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\) |
Monotonie : signe de \(u_{n+1} - u_n\), ou comparaison de \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) pour les suites positives.
Encadrement par récurrence : on suppose \(a \le u_n \le b\) et on montre que \(a \le u_{n+1} \le b\) en utilisant la monotonie de la fonction associée.
Ce que je dois savoir faire
- Reconnaître et exploiter les trois types de suites.
- Déterminer le terme général via une suite auxiliaire.
- Démontrer un encadrement ou une inégalité par récurrence.
- Calculer les sommes classiques.
- Étudier la monotonie d'une suite définie explicitement ou par récurrence.
Les pièges à éviter
- De \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n+1\) termes.
- Pour une suite définie par récurrence, on ne peut pas « calculer » \(u_n\) directement : il faut une suite auxiliaire ou une récurrence.
- L'hypothèse de récurrence doit être utilisée dans l'hérédité.
- La formule de la somme géométrique suppose \(q \ne 1\).
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\(u_n\) pour \(u_{n+1} = 3u_n\) et \(u_0 = 2\) ? Point fixe de \(u_{n+1} = \frac{u_n}{2}+1\) ? \(\sum_{k=0}^{5}k\) ? Nature de \(u_n = 4 - \frac1{n+1}\) ?
Réponses
\(2\times3^n\) ; \(\ell = 2\) ; \(15\) ; croissante et majorée par \(4\).