1. Généralités
Une suite \((u_n)\) associe à chaque entier \(n\ge n_0\) un réel \(u_n\). Elle peut être définie explicitement (\(u_n = f(n)\)) ou par récurrence (\(u_{n+1} = f(u_n)\)).
- \((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1}\ge u_n\) pour tout \(n\) ; décroissante si \(u_{n+1}\le u_n\).
- Majorée : \(\exists M,\ u_n\le M\) ; minorée : \(\exists m,\ u_n\ge m\) ; bornée : les deux.
On étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\), ou on compare \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) si \(u_n > 0\).
2. Raisonnement par récurrence
On l'utilise pour montrer qu'une suite est bornée ou monotone (initialisation, hérédité).
3. Suites arithmétiques
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(u_{n+1} = u_n + r\).
- \(u_n = u_p + (n - p)r\).
- \(S = u_p + \dots + u_n = (n - p + 1)\times\frac{u_p + u_n}{2}\) (nombre de termes × moyenne des extrêmes).
4. Suites géométriques
\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(u_{n+1} = q\,u_n\).
- \(u_n = u_p\times q^{n - p}\).
- Si \(q\neq1\) : \(u_p + \dots + u_n = u_p\times\frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q}\).
5. Exemple : suite arithmético-géométrique
\(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = \frac12u_n + 3\). On pose \(v_n = u_n - 6\) : \(v_{n+1} = \frac12u_n + 3 - 6 = \frac12(u_n - 6) = \frac12v_n\). \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac12\), \(v_0 = -5\), donc \(u_n = 6 - 5\left(\frac12\right)^n\).