Exercice 1
Soit \(u_n = \frac{n}{n + 1}\) pour \(n\in\mathbb{N}\). Étudier la monotonie de \((u_n)\) et montrer qu'elle est bornée.
Correction
\(u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0\) : croissante. \(0\le u_n < 1\) : bornée.
Exercice 2
Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_3 = 7\) et \(u_{10} = 28\). Déterminer la raison, \(u_0\) et \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}\).
Correction
\(7r = 21\), \(r = 3\). \(u_0 = 7 - 9 = -2\). \(u_{20} = -2 + 60 = 58\). \(S = 21\times\frac{-2 + 58}{2} = 588\).
Exercice 3
Calculer \(S = 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{10}\).
Correction
Somme géométrique de raison \(3\), \(11\) termes : \(S = \frac{3^{11} - 1}{2} = \frac{177147 - 1}{2} = 88573\).
Exercice 4
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\).
- Montrer par récurrence que \(0\le u_n < 2\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
Correction
- \(u_0 = 0\). Si \(0\le u_n < 2\), alors \(2\le u_n + 2 < 4\) et \(\sqrt2\le u_{n+1} < 2\).
- \(u_{n+1}^2 - u_n^2 = u_n + 2 - u_n^2 = (2 - u_n)(1 + u_n) > 0\), et les termes sont positifs, donc \(u_{n+1} > u_n\).
Exercice 5
Soit \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 2u_n - 1\). On pose \(v_n = u_n - 1\).
- Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(u_0 + \dots + u_n\).
Correction
- \(v_{n+1} = 2u_n - 2 = 2v_n\) : raison \(2\), \(v_0 = 2\).
- \(v_n = 2^{n+1}\), \(u_n = 2^{n+1} + 1\). Somme \(= (2 + 4 + \dots + 2^{n+1}) + (n + 1) = 2^{n+2} - 2 + n + 1 = 2^{n+2} + n - 1\).