1. Limites usuelles
| \(f(x)\) | \(x\to+\infty\) | \(x\to-\infty\) | \(x\to0^+\) | \(x\to0^-\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n\ge1\)) | \(+\infty\) | \(+\infty\) (\(n\) pair), \(-\infty\) (\(n\) impair) | \(0\) | \(0\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(0\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(+\infty\) | — | \(0\) | — |
2. Opérations
Les limites de sommes, produits et quotients s'obtiennent par les règles usuelles, sauf dans les formes indéterminées :
\[+\infty - \infty \qquad 0\times\infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}\]
3. Lever une indétermination
- Polynôme en \(\pm\infty\) : même limite que son terme de plus haut degré.
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : même limite que le quotient des termes de plus haut degré.
- Forme \(\frac00\) en \(a\) : factoriser par \((x - a)\).
- Racines : multiplier par la quantité conjuguée.
Exemple
\(\lim_{x\to2}\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x\to2}(x + 2) = 4\).
4. Limites trigonométriques
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12 \qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x} = 1\]
5. Limites et ordre
- Si \(f\le g\) au voisinage de \(a\) et \(\lim f = +\infty\), alors \(\lim g = +\infty\).
- Théorème des gendarmes : si \(u\le f\le v\) et \(\lim u = \lim v = \ell\), alors \(\lim f = \ell\).
- Si \(|f(x) - \ell|\le u(x)\) et \(\lim u = 0\), alors \(\lim f = \ell\).
6. Continuité (introduction)
\(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\).
Les polynômes, fractions rationnelles, \(\sqrt{\cdot}\), \(\sin\), \(\cos\) sont continues sur leur ensemble de définition.