1. Nombre dérivé
\(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim_{h\to0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\) existe et est finie. Cette limite est notée \(f'(a)\).
Interprétation géométrique
La tangente à \((C_f)\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation :
\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]
Approximation affine : pour \(h\) proche de \(0\), \(f(a + h)\approx f(a) + f'(a)h\).
Dérivabilité à droite et à gauche
\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche avec \(f'_d(a) = f'_g(a)\). Sinon, on obtient deux demi-tangentes (point anguleux).
2. Dérivées usuelles
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(k\) | \(0\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\frac1x\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) (\(x > 0\)) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(1 + \tan^2 x\) |
3. Opérations
\[(u + v)' = u' + v' \qquad (uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \qquad (u^n)' = nu'u^{n-1}\]
\[(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \qquad (f(ax + b))' = af'(ax + b)\]
4. Dérivée et variations
Sur un intervalle \(I\) : si \(f'\ge0\) alors \(f\) est croissante ; si \(f'\le0\), décroissante ; si \(f' = 0\), constante.
Si \(f'\) s'annule en \(a\) en changeant de signe, \(f(a)\) est un extremum local.
Exemple
\(f(x) = x^3 - 3x\) : \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)\). \(f\) croissante sur \(]-\infty ; -1]\), décroissante sur \([-1 ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\). Maximum local \(f(-1) = 2\), minimum local \(f(1) = -2\).