1. Plan d'étude
- Ensemble de définition, parité, périodicité.
- Limites aux bornes et branches infinies.
- Dérivabilité, dérivée et tableau de variation.
- Concavité, points d'inflexion.
- Éléments de symétrie, intersections avec les axes.
- Tracé de la courbe.
2. Branches infinies
- \(\lim_{x\to a}f(x) = \pm\infty\) : asymptote verticale \(x = a\).
- \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = b\) : asymptote horizontale \(y = b\).
- \(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x) - (ax + b)] = 0\) : asymptote oblique \(y = ax + b\).
Si \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \pm\infty\), on calcule \(\lim\frac{f(x)}{x}\)
- Si \(\frac{f(x)}{x}\to\pm\infty\) : branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
- Si \(\frac{f(x)}{x}\to0\) : branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
- Si \(\frac{f(x)}{x}\to a\neq0\) : on calcule \(\lim[f(x) - ax]\). Si elle vaut \(b\) (réel) : asymptote \(y = ax + b\). Si elle vaut \(\pm\infty\) : branche parabolique de direction \(y = ax\).
3. Concavité et points d'inflexion
Si \(f'' \ge 0\) sur \(I\), \((C_f)\) est convexe (au-dessus de ses tangentes). Si \(f''\le0\), elle est concave.
Si \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(a\), le point \((a ; f(a))\) est un point d'inflexion.
4. Position relative courbe / asymptote
On étudie le signe de \(f(x) - (ax + b)\).
Exemple
\(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac1x\). \(f(x) - x = \frac1x\to0\) en \(\pm\infty\) : asymptote oblique \(y = x\). Asymptote verticale \(x = 0\). \(f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2}\). \(f''(x) = \frac{2}{x^3}\) : concave sur \(]-\infty ; 0[\), convexe sur \(]0 ; +\infty[\). La courbe est au-dessus de l'asymptote pour \(x > 0\).