Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Problème (20 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x + 1}\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
- Déterminer \(D_f\) et les limites aux bornes. (3 pts)
- Montrer que \(f(x) = x - \frac{1}{x + 1}\) et en déduire les asymptotes. (3 pts)
- Étudier la position de \((C_f)\) par rapport à l'asymptote oblique. (2 pts)
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation. (4 pts)
- Montrer que \(\Omega(-1 ; -1)\) est un centre de symétrie. (3 pts)
- Déterminer les points d'intersection de \((C_f)\) avec l'axe des abscisses. (2 pts)
- Étudier la concavité de \((C_f)\). (3 pts)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-1\}\). \(\lim_{\pm\infty} = \pm\infty\). En \(-1\) : numérateur \(\to-1\), donc \(\lim_{-1^+} = -\infty\) et \(\lim_{-1^-} = +\infty\).
- \(x - \frac{1}{x + 1} = \frac{x^2 + x - 1}{x + 1}\). Asymptotes : \(x = -1\) et \(y = x\).
- \(f(x) - x = -\frac{1}{x + 1}\) : au-dessus de \(y = x\) pour \(x < -1\), en dessous pour \(x > -1\).
- \(f'(x) = 1 + \frac{1}{(x + 1)^2} > 0\) : \(f\) strictement croissante sur \(]-\infty ; -1[\) et sur \(]-1 ; +\infty[\).
- \(f(-2 - x) = -2 - x - \frac{1}{-1 - x} = -2 - x + \frac{1}{x + 1}\). Donc \(f(-2 - x) + f(x) = -2\).
- \(x^2 + x - 1 = 0\) : \(x = \frac{-1\pm\sqrt5}{2}\).
- \(f''(x) = -\frac{2}{(x + 1)^3}\) : convexe sur \(]-\infty ; -1[\), concave sur \(]-1 ; +\infty[\).