Exercice 1
Soit \(f(x) = \frac{2x^2 - x + 3}{x - 1}\).
- Déterminer \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(f(x) = ax + b + \frac{c}{x - 1}\).
- En déduire les asymptotes de \((C_f)\) et la position relative avec l'asymptote oblique.
Correction
- \(2x^2 - x + 3 = (x - 1)(2x + 1) + 4\), donc \(f(x) = 2x + 1 + \frac{4}{x - 1}\).
- Asymptote verticale \(x = 1\), asymptote oblique \(y = 2x + 1\). \(f(x) - (2x + 1) = \frac{4}{x - 1}\) : au-dessus pour \(x > 1\), en dessous pour \(x < 1\).
Exercice 2
Étudier les branches infinies de \(g(x) = \sqrt{x^2 + 2x}\) en \(+\infty\).
Correction
\(\frac{g(x)}{x} = \sqrt{1 + \frac2x}\to1\). \(g(x) - x = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x}\to1\). Asymptote oblique \(y = x + 1\).
Exercice 3
Étudier la concavité de \(h(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) et déterminer son point d'inflexion.
Correction
\(h''(x) = 6x - 6\) : concave sur \(]-\infty ; 1]\), convexe sur \([1 ; +\infty[\). Point d'inflexion \((1 ; 0)\).
Exercice 4
Étudier les branches infinies de \(k(x) = x - \sqrt{x}\) en \(+\infty\).
Correction
\(k(x)\to+\infty\) ; \(\frac{k(x)}{x} = 1 - \frac{1}{\sqrt x}\to1\) ; \(k(x) - x = -\sqrt x\to-\infty\) : branche parabolique de direction \(y = x\).