Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 + x & \text{si } x\le0 \\ \sqrt{x} + x & \text{si } x > 0 \end{cases}\)
- Montrer que \(f\) est continue en \(0\). (2 pts)
- Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche et à droite en \(0\). (4 pts)
- Interpréter géométriquement. (2 pts)
Correction
- \(\lim_{0^-} = 0 = \lim_{0^+} = f(0)\).
- À gauche : \(\frac{h^2 + h}{h} = h + 1\to1\) : \(f'_g(0) = 1\). À droite : \(\frac{\sqrt h + h}{h} = \frac{1}{\sqrt h} + 1\to+\infty\) : non dérivable à droite.
- Demi-tangente à gauche de pente \(1\) (\(y = x\)) et demi-tangente verticale à droite.
Exercice 2 (12 pts)
Soit \(g(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}\).
- Déterminer \(D_g\) et calculer les limites aux bornes. (3 pts)
- Calculer \(g'(x)\). (3 pts)
- Dresser le tableau de variation de \(g\). (3 pts)
- Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(2\). (3 pts)
Correction
- \(D_g = \mathbb{R}\setminus\{1\}\). \(\lim_{\pm\infty} = \pm\infty\), \(\lim_{1^+} = +\infty\), \(\lim_{1^-} = -\infty\) (numérateur \(\to1\)).
- \(g'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\).
- Croissante sur \(]-\infty ; 0]\) et \([2 ; +\infty[\) ; décroissante sur \([0 ; 1[\) et \(]1 ; 2]\). Maximum local \(g(0) = -1\), minimum local \(g(2) = 3\).
- \(g'(2) = 0\) : tangente horizontale \(y = 3\).