Exercice 1
Étudier la dérivabilité de \(f(x) = x|x|\) en \(0\).
Correction
\(\frac{f(h) - f(0)}{h} = |h|\to0\). \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0) = 0\).
Exercice 2
Étudier la dérivabilité de \(g(x) = \sqrt{x}\) en \(0\) à droite et interpréter.
Correction
\(\frac{\sqrt h}{h} = \frac{1}{\sqrt h}\to+\infty\) : non dérivable, la courbe admet une demi-tangente verticale en \(O\).
Exercice 3
Calculer les dérivées :
- \(f(x) = (2x - 1)^4\)
- \(g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}\)
- \(h(x) = \sqrt{x^2 + 3x}\)
- \(k(x) = \sin^2 x\cos x\)
Correction
- \(8(2x - 1)^3\).
- \(\frac{2x(x - 2) - (x^2 + 1)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}\).
- \(\frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}}\).
- \(2\sin x\cos^2 x - \sin^3 x\).
Exercice 4
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = \frac{2x}{x + 1}\) au point d'abscisse \(1\).
Correction
\(f'(x) = \frac{2}{(x + 1)^2}\), \(f'(1) = \frac12\), \(f(1) = 1\) : \(y = \frac12(x - 1) + 1 = \frac12x + \frac12\).
Exercice 5
Donner une valeur approchée de \(\sqrt{4{,}02}\) par approximation affine.
Correction
\(f(x) = \sqrt x\), \(a = 4\), \(h = 0{,}02\) : \(\sqrt{4{,}02}\approx2 + \frac{1}{4}\times0{,}02 = 2{,}005\).
Exercice 6
Étudier les variations de \(f(x) = \frac{x^2}{x - 1}\).
Correction
\(f'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\). Croissante sur \(]-\infty ; 0]\) et \([2 ; +\infty[\), décroissante sur \([0 ; 1[\) et \(]1 ; 2]\). Maximum local \(f(0) = 0\), minimum local \(f(2) = 4\).