Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (12 pts)
Calculer les limites suivantes :
- \(\lim_{x\to-\infty}(x^4 - 3x^3 + x)\) (1 pt)
- \(\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5}\) (2 pts)
- \(\lim_{x\to-1}\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\) (2 pts)
- \(\lim_{x\to+\infty}(x - \sqrt{x^2 - 2x})\) (2 pts)
- \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x - \tan x}{x^3}\) (3 pts)
- \(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}}\) (2 pts)
Correction
- \(+\infty\).
- \(2\).
- \(\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}\to\frac{3}{-2} = -\frac32\).
- \(\frac{2x}{x + \sqrt{x^2 - 2x}} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \frac2x}}\to1\).
- \(\sin x - \tan x = \frac{\sin x(\cos x - 1)}{\cos x}\), donc le quotient vaut \(\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\cos x - 1}{x^2}\cdot\frac{1}{\cos x}\to1\times(-\frac12)\times1 = -\frac12\).
- Avec \(h = x - \frac{\pi}{2}\) : \(\cos x = -\sin h\), la limite est \(-1\).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}\) si \(x\neq1\) et \(f(1) = m\).
- Calculer \(\lim_{x\to1}f(x)\). (3 pts)
- Pour quelle valeur de \(m\) \(f\) est-elle continue en \(1\) ? (2 pts)
- Montrer que pour tout \(x > 0\) : \(|\frac{x\cos x}{x^2 + 1}|\le\frac1x\), et en déduire \(\lim_{x\to+\infty}\frac{x\cos x}{x^2 + 1}\). (3 pts)
Correction
- \(f(x) = x - 2\to-1\).
- \(m = -1\).
- \(\left|\frac{x\cos x}{x^2 + 1}\right|\le\frac{x}{x^2 + 1}\le\frac{x}{x^2} = \frac1x\). Par comparaison, la limite est \(0\).