Suites numériques — Examen (2 h) — 1ère année Bac Sciences Mathématiques

Durée : 2 heures. Barème sur 20.

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 4}\).

Montrer par récurrence que pour tout \(n\), \(u_n > 1\). (3 pts)
Montrer que \(u_{n+1} - u_n = \frac{-(u_n - 1)(u_n + 3)}{u_n + 4}\) et en déduire la monotonie de \((u_n)\). (3 pts)
On pose \(v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac15\). (2 pts)
En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\). (2 pts)

Correction

\(u_0 = 4 > 1\). Si \(u_n > 1\) : \(u_{n+1} - 1 = \frac{u_n - 1}{u_n + 4} > 0\).
\(u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n + 3 - u_n^2 - 4u_n}{u_n + 4} = \frac{-(u_n^2 + 2u_n - 3)}{u_n + 4} = \frac{-(u_n - 1)(u_n + 3)}{u_n + 4} < 0\) : décroissante.
\(u_{n+1} + 3 = \frac{5u_n + 15}{u_n + 4} = \frac{5(u_n + 3)}{u_n + 4}\) et \(u_{n+1} - 1 = \frac{u_n - 1}{u_n + 4}\), donc \(v_{n+1} = \frac15v_n\).
\(v_0 = \frac37\), \(v_n = \frac37\left(\frac15\right)^n\). De \(v_n(u_n + 3) = u_n - 1\) : \(u_n = \frac{1 + 3v_n}{1 - v_n}\).

Montrer par récurrence que pour tout \(n\ge1\) : \(1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). (4 pts)
Soit \((w_n)\) arithmétique de premier terme \(w_1 = 5\) et de raison \(4\). Calculer \(w_n\) et \(T_n = w_1 + \dots + w_n\). (3 pts)
Déterminer \(n\) tel que \(T_n = 495\). (3 pts)

Correction

\(n = 1\) : \(1 = 1\). Hérédité : \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\).
\(w_n = 5 + 4(n - 1) = 4n + 1\). \(T_n = n\times\frac{5 + 4n + 1}{2} = n(2n + 3)\).
\(2n^2 + 3n - 495 = 0\), \(\Delta = 9 + 3960 = 3969 = 63^2\) : \(n = \frac{-3 + 63}{4} = 15\).