1. Formules d'addition
\[\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b \qquad \cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\]
\[\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b \qquad \sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\]
\[\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}\]
2. Formules de duplication
\[\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a \qquad \sin 2a = 2\sin a\cos a\]
Linéarisation
\[\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} \qquad \sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}\]
Avec \(t = \tan\frac{a}{2}\)
\[\cos a = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \qquad \sin a = \frac{2t}{1 + t^2} \qquad \tan a = \frac{2t}{1 - t^2}\]
3. Transformation de produits en sommes
- \(\cos a\cos b = \frac12[\cos(a + b) + \cos(a - b)]\)
- \(\sin a\sin b = \frac12[\cos(a - b) - \cos(a + b)]\)
- \(\sin a\cos b = \frac12[\sin(a + b) + \sin(a - b)]\)
Transformation de sommes en produits
\[\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2} \qquad \sin p + \sin q = 2\sin\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}\]
4. L'expression \(a\cos x + b\sin x\)
Pour \((a ; b)\neq(0 ; 0)\), on pose \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) et \(\varphi\) tel que \(\cos\varphi = \frac{a}{r}\), \(\sin\varphi = \frac{b}{r}\). Alors
\[a\cos x + b\sin x = r\cos(x - \varphi)\]
Exemple
\(\cos x + \sqrt3\sin x = 2\left(\frac12\cos x + \frac{\sqrt3}{2}\sin x\right) = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\).
5. Équations et inéquations
On se ramène à \(\cos X = \cos\alpha\), \(\sin X = \sin\alpha\) ou \(\tan X = \tan\alpha\). Pour les inéquations, on utilise le cercle trigonométrique.