1. Rappels
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\vec{u}, \vec{v})\) et, en repère orthonormé, \(\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'\).
\[\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac12\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\]
2. Expressions de cos et sin d'un angle orienté
En repère orthonormé direct, pour \(\vec{u}(x ; y)\) et \(\vec{v}(x' ; y')\) non nuls :
\[\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{xx' + yy'}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} \qquad \sin(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{xy' - x'y}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\]
L'aire du triangle \(ABC\) : \(S = \frac12|\det(\vec{AB}, \vec{AC})|\).
3. Ensembles de points
- \(\{M : \vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0\}\) : cercle de diamètre \([AB]\).
- \(\{M : \vec{AM}\cdot\vec{u} = k\}\) : une droite perpendiculaire à \(\vec{u}\).
- \(\{M : MA^2 - MB^2 = k\}\) : une droite perpendiculaire à \((AB)\).
4. Le cercle
Le cercle \((C)\) de centre \(\Omega(a ; b)\) et de rayon \(r\) a pour équation \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
L'équation \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\) représente un cercle si \(\frac{\alpha^2 + \beta^2}{4} - \gamma > 0\), de centre \((-\frac{\alpha}{2} ; -\frac{\beta}{2})\).
Position d'une droite et d'un cercle
Soit \(d = d(\Omega, (D))\) :
- \(d > r\) : \((D)\) extérieure ; \(d = r\) : \((D)\) tangente ; \(d < r\) : \((D)\) sécante en deux points.
Tangente en un point
La tangente à \((C)\) en \(A\in(C)\) est l'ensemble des \(M\) tels que \(\vec{AM}\cdot\vec{A\Omega} = 0\).
Représentation paramétrique
\[\begin{cases} x = a + r\cos\theta \\ y = b + r\sin\theta \end{cases} \quad \theta\in\mathbb{R}\]
5. Inéquations
\((x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2\) : disque fermé de centre \(\Omega\) et de rayon \(r\).