Exercice 1
Soient \(\vec{u}(1 ; \sqrt3)\) et \(\vec{v}(\sqrt3 ; 1)\). Calculer \(\cos(\vec{u}, \vec{v})\) et \(\sin(\vec{u}, \vec{v})\), puis une mesure de \((\vec{u}, \vec{v})\).
Correction
\(\|\vec u\| = \|\vec v\| = 2\). \(\cos = \frac{\sqrt3 + \sqrt3}{4} = \frac{\sqrt3}{2}\), \(\sin = \frac{1 - 3}{4} = -\frac12\). Donc \((\vec u, \vec v) \equiv -\frac{\pi}{6}\ [2\pi]\).
Exercice 2
Déterminer l'équation du cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(1 ; 2)\) et \(B(5 ; -2)\).
Correction
\(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = (1 - x)(5 - x) + (2 - y)(-2 - y) = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0\), soit \((x - 3)^2 + y^2 = 8\).
Exercice 3
Soit \((C) : x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0\) et \((D) : x + y - 2 = 0\). Étudier leur position relative.
Correction
\((C)\) : centre \((1 ; -2)\), rayon \(3\). \(d = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2{,}12 < 3\) : la droite coupe le cercle en deux points.
Exercice 4
Discuter selon \(m\) la nature de l'ensemble \((E_m) : x^2 + y^2 - 2mx + 4y + 5 = 0\).
Correction
\((x - m)^2 + (y + 2)^2 = m^2 - 1\). Si \(|m| > 1\) : cercle de centre \((m ; -2)\), rayon \(\sqrt{m^2 - 1}\). Si \(|m| = 1\) : le point \((m ; -2)\). Si \(|m| < 1\) : ensemble vide.
Exercice 5
Déterminer les équations des tangentes au cercle \((C) : x^2 + y^2 = 5\) parallèles à \((D) : 2x - y = 0\).
Correction
Tangentes \(2x - y + c = 0\) avec \(\frac{|c|}{\sqrt5} = \sqrt5\) : \(c = \pm5\). Donc \(2x - y + 5 = 0\) et \(2x - y - 5 = 0\).