1. Barycentre de deux points
Soient \(A\), \(B\) deux points et \(\alpha\), \(\beta\) deux réels avec \(\alpha + \beta\neq0\). Il existe un unique point \(G\) tel que \(\alpha\vec{GA} + \beta\vec{GB} = \vec{0}\). C'est le barycentre des points pondérés \((A, \alpha)\) et \((B, \beta)\).
\[\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}\vec{AB}\]
- Si \(\alpha = \beta\), \(G\) est le milieu de \([AB]\) (isobarycentre).
- \(G\in(AB)\).
2. Barycentre de trois points
Si \(\alpha + \beta + \gamma\neq0\), le barycentre \(G\) de \((A, \alpha)\), \((B, \beta)\), \((C, \gamma)\) vérifie \(\alpha\vec{GA} + \beta\vec{GB} + \gamma\vec{GC} = \vec{0}\).
Propriété fondamentale
Pour tout point \(M\) :
\[\alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB} + \gamma\vec{MC} = (\alpha + \beta + \gamma)\vec{MG}\]
Associativité
Si \(\alpha + \beta\neq0\) et \(H\) est le barycentre de \((A, \alpha)\), \((B, \beta)\), alors \(G\) est le barycentre de \((H, \alpha + \beta)\) et \((C, \gamma)\). L'isobarycentre de \(A\), \(B\), \(C\) est le centre de gravité du triangle.
3. Coordonnées
\[x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha + \beta + \gamma} \qquad y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{\alpha + \beta + \gamma}\]
4. Lignes de niveau
L'ensemble des points \(M\) tels que \(\|\alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB}\| = k\) (avec \(\alpha + \beta\neq0\)) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\frac{k}{|\alpha + \beta|}\).
Exemple
\(G\) barycentre de \((A, 1)\) et \((B, 3)\) : \(\vec{AG} = \frac34\vec{AB}\).