Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \(ABC\) un triangle. On considère \(G\) le barycentre de \((A, 1)\), \((B, 2)\), \((C, 1)\).
- Soit \(I\) le milieu de \([AC]\). Montrer que \(G\) est le milieu de \([BI]\). (3 pts)
- Soit \(J\) le barycentre de \((A, 1)\), \((B, 2)\). Montrer que \(G\in(CJ)\) et préciser \(\vec{CG}\) en fonction de \(\vec{CJ}\). (3 pts)
- Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\|\vec{MA} + 2\vec{MB} + \vec{MC}\| = \|\vec{MA} - \vec{MC}\|\). (4 pts)
Correction
- \(I\) = barycentre de \((A,1)\), \((C,1)\) ; par associativité \(G\) = barycentre de \((I, 2)\) et \((B, 2)\) : milieu de \([BI]\).
- \(G\) = barycentre de \((J, 3)\) et \((C, 1)\), donc \(G\in(CJ)\) et \(\vec{CG} = \frac34\vec{CJ}\).
- \(\vec{MA} + 2\vec{MB} + \vec{MC} = 4\vec{MG}\) et \(\vec{MA} - \vec{MC} = \vec{CA}\). Donc \(4MG = AC\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(\frac{AC}{4}\).
Exercice 2 (10 pts)
Dans un repère, \(A(0 ; 2)\), \(B(4 ; 0)\), \(C(2 ; 6)\).
- Calculer les coordonnées de \(G\), barycentre de \((A, 3)\), \((B, -1)\), \((C, 2)\). (3 pts)
- Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(3MA^2 - MB^2 + 2MC^2 = 3GA^2 - GB^2 + 2GC^2\). (3 pts)
- Déterminer l'ensemble \((\Gamma)\) des points \(M\) tels que \((3\vec{MA} - \vec{MB} + 2\vec{MC})\cdot\vec{AB} = 0\). (4 pts)
Correction
- \(x_G = \frac{0 - 4 + 4}{4} = 0\), \(y_G = \frac{6 - 0 + 12}{4} = \frac92\). \(G(0 ; \frac92)\).
- On a \(3MA^2 - MB^2 + 2MC^2 = 4MG^2 + 3GA^2 - GB^2 + 2GC^2\). L'égalité donne \(MG = 0\) : l'ensemble est \(\{G\}\).
- \(4\vec{MG}\cdot\vec{AB} = 0\) : la droite passant par \(G\) et perpendiculaire à \((AB)\). \(\vec{AB}(4 ; -2)\) : \(4x - 2(y - \frac92) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + \frac92 = 0\).