1. Fonction majorée, minorée, bornée
- \(f\) est majorée sur \(I\) s'il existe \(M\) tel que \(\forall x\in I,\ f(x)\le M\).
- \(f\) est minorée s'il existe \(m\) tel que \(f(x)\ge m\).
- \(f\) est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire \(\exists k > 0,\ |f(x)|\le k\).
2. Monotonie
\(f\) est strictement croissante sur \(I\) si \(\forall a, b\in I\), \(a < b\Rightarrow f(a) < f(b)\).
Le taux de variation \(T(a, b) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) permet d'étudier le sens de variation.
Monotonie de la composée
| \(f\) sur \(I\) | \(g\) sur \(f(I)\) | \(g\circ f\) sur \(I\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
3. Comparaison de fonctions
\(f\le g\) sur \(I\) si \(\forall x\in I,\ f(x)\le g(x)\). Graphiquement, \((C_f)\) est en dessous de \((C_g)\).
4. Éléments de symétrie
- La droite \(x = a\) est un axe de symétrie de \((C_f)\) si \(\forall x\in D_f,\ (2a - x)\in D_f\) et \(f(2a - x) = f(x)\).
- Le point \(\Omega(a ; b)\) est un centre de symétrie si \((2a - x)\in D_f\) et \(f(2a - x) + f(x) = 2b\).
5. Fonctions périodiques
\(f\) est périodique de période \(T > 0\) si \(\forall x\in D_f,\ x + T\in D_f\) et \(f(x + T) = f(x)\). Exemples : \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques, \(\tan\) est \(\pi\)-périodique. \(x\mapsto\cos(ax + b)\) a pour période \(\frac{2\pi}{|a|}\).
6. Fonctions de référence
- \(x\mapsto\sqrt{x + a}\) : demi-parabole.
- \(x\mapsto ax^3\) : impaire.
- \(x\mapsto\frac{ax + b}{cx + d}\) : hyperbole de centre \(\Omega(-\frac{d}{c} ; \frac{a}{c})\).
Exemple
\(f(x) = x^2 - 4x + 1\) : \(f(4 - x) = (4 - x)^2 - 4(4 - x) + 1 = x^2 - 4x + 1 = f(x)\), donc \(x = 2\) est un axe de symétrie.