1. Ensembles
- \(A \subset B\) : tout élément de \(A\) est dans \(B\). \(A = B \Leftrightarrow A\subset B\) et \(B\subset A\).
- \(A\cap B = \{x : x\in A \text{ et } x\in B\}\), \(A\cup B = \{x : x\in A \text{ ou } x\in B\}\).
- Complémentaire de \(A\) dans \(E\) : \(\overline{A} = C_E^A = \{x\in E : x\notin A\}\).
- Différence : \(A\setminus B = A\cap\overline{B}\). Différence symétrique : \(A\Delta B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A)\).
- Produit cartésien : \(A\times B = \{(a ; b) : a\in A,\ b\in B\}\).
- \(\mathcal{P}(E)\) : ensemble des parties de \(E\). Si \(\text{card}\,E = n\), alors \(\text{card}\,\mathcal{P}(E) = 2^n\).
Lois de Morgan
\[\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup\overline{B} \qquad \overline{A\cup B} = \overline{A}\cap\overline{B}\]
Distributivité
\[A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C) \qquad A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)\]
2. Applications
Une application \(f : E \to F\) associe à chaque élément \(x\) de \(E\) un unique élément \(f(x)\) de \(F\).
Injection, surjection, bijection
- \(f\) est injective si \(f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'\) (deux éléments distincts ont des images distinctes).
- \(f\) est surjective si \(\forall y\in F,\ \exists x\in E,\ f(x) = y\).
- \(f\) est bijective si elle est injective et surjective : \(\forall y\in F,\ \exists!\,x\in E,\ f(x) = y\).
Si \(f\) est bijective, sa bijection réciproque \(f^{-1} : F\to E\) vérifie \(f(x) = y \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)\).
Composée
\((g\circ f)(x) = g(f(x))\). Si \(f\) et \(g\) sont bijectives, \(g\circ f\) l'est et \((g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}\).
Image directe et image réciproque
- \(f(A) = \{f(x) : x\in A\}\).
- \(f^{-1}(B) = \{x\in E : f(x)\in B\}\) (définie même si \(f\) n'est pas bijective).
Exemple
\(f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x) = 2x + 3\) est bijective : \(y = 2x + 3 \Leftrightarrow x = \frac{y - 3}{2}\), donc \(f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2}\). \(g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x) = x^2\) n'est ni injective (\(g(-1) = g(1)\)) ni surjective (\(-1\) n'a pas d'antécédent).