Exercice 1
Soient \(A = \{x\in\mathbb{R} : |x - 1| \le 2\}\) et \(B = \{x\in\mathbb{R} : x^2 \ge 4\}\). Déterminer \(A\), \(B\), \(A\cap B\), \(A\cup B\) et \(A\setminus B\).
Correction
\(A = [-1 ; 3]\), \(B = ]-\infty ; -2]\cup[2 ; +\infty[\). \(A\cap B = [2 ; 3]\), \(A\cup B = ]-\infty ; -2]\cup[-1 ; +\infty[\), \(A\setminus B = [-1 ; 2[\).
Exercice 2
Montrer que pour tous ensembles \(A\), \(B\) : \(A\cap B = A\cup B \Leftrightarrow A = B\).
Correction
Si \(A = B\), évident. Réciproquement, si \(A\cap B = A\cup B\) : \(A\subset A\cup B = A\cap B\subset B\), donc \(A\subset B\) ; de même \(B\subset A\). Donc \(A = B\).
Exercice 3
Soit \(f : \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}\), \(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\).
Correction
Soit \(y\neq2\). \(\frac{2x+1}{x-1} = y \Leftrightarrow 2x + 1 = xy - y \Leftrightarrow x(2 - y) = -y - 1 \Leftrightarrow x = \frac{y + 1}{y - 2}\). On vérifie que \(x\neq1\) (sinon \(y + 1 = y - 2\), impossible). Donc chaque \(y\) a un unique antécédent : \(f\) est bijective et \(f^{-1}(y) = \frac{y + 1}{y - 2}\).
Exercice 4
Soit \(f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}\), \(f(n) = 2n\). Étudier l'injectivité et la surjectivité de \(f\).
Correction
\(2n = 2n' \Rightarrow n = n'\) : injective. \(1\) n'a pas d'antécédent (impair) : non surjective.
Exercice 5
Soit \(f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 - 2x\). Déterminer \(f([0 ; 3])\) et \(f^{-1}(\{3\})\), \(f^{-1}([-1 ; 0])\).
Correction
\(f(x) = (x - 1)^2 - 1\). Sur \([0 ; 3]\), \((x-1)^2\in[0 ; 4]\) donc \(f([0 ; 3]) = [-1 ; 3]\). \(f(x) = 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\) : \(f^{-1}(\{3\}) = \{-1 ; 3\}\). \(-1\le f(x)\le0 \Leftrightarrow 0\le(x-1)^2\le1\) : \(f^{-1}([-1;0]) = [0 ; 2]\).
Exercice 6
Soient \(f : E\to F\) et \(g : F\to G\). Montrer que si \(g\circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.
Correction
Si \(f(x) = f(x')\), alors \(g(f(x)) = g(f(x'))\), soit \((g\circ f)(x) = (g\circ f)(x')\), donc \(x = x'\).