Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois parties d'un ensemble \(E\).
- Montrer que \(A\setminus(B\cup C) = (A\setminus B)\cap(A\setminus C)\). (3 pts)
- Montrer que \((A\cup B = A\cap C) \Rightarrow B\subset A\subset C\). (3 pts)
Correction
- \(x\in A\setminus(B\cup C) \Leftrightarrow x\in A\) et \(x\notin B\) et \(x\notin C \Leftrightarrow (x\in A\setminus B)\) et \((x\in A\setminus C)\).
- \(B\subset A\cup B = A\cap C\subset A\) et \(A\subset A\cup B = A\cap C\subset C\).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(f : [1 ; +\infty[\to[-1 ; +\infty[\) définie par \(f(x) = x^2 - 2x\).
- Montrer que \(f\) est bien définie (les images sont dans \([-1 ; +\infty[\)). (2 pts)
- Montrer que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\). (4 pts)
- Calculer \(f^{-1}(3)\). (2 pts)
Correction
- \(f(x) = (x - 1)^2 - 1 \ge -1\).
- Soit \(y\ge-1\) : \((x-1)^2 = y + 1\) avec \(x - 1\ge0\) donne l'unique \(x = 1 + \sqrt{y + 1}\ge1\). Donc \(f\) bijective et \(f^{-1}(y) = 1 + \sqrt{y + 1}\).
- \(f^{-1}(3) = 1 + 2 = 3\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x) = \frac{2x}{1 + x^2}\).
- Montrer que pour tout \(x\), \(-1\le g(x)\le1\). (2 pts)
- \(g\) est-elle injective ? surjective ? (2 pts)
- Montrer que la restriction de \(g\) à \([-1 ; 1]\) est une bijection de \([-1 ; 1]\) sur \([-1 ; 1]\). (2 pts)
Correction
- \(1 \mp g(x) = \frac{(1\mp x)^2}{1 + x^2}\ge0\).
- \(g(2) = g(\frac12) = \frac45\) : non injective. \(2\) n'a pas d'antécédent : non surjective.
- Pour \(y\in[-1;1]\), \(y\neq0\) : \(yx^2 - 2x + y = 0\), \(\Delta' = 1 - y^2\ge0\), racines de produit \(1\) : exactement une dans \([-1 ; 1]\), \(x = \frac{1 - \sqrt{1 - y^2}}{y}\). Pour \(y = 0\), \(x = 0\). D'où la bijection.