Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \(f(x) = x - 2\sqrt{x}\) sur \([0 ; +\infty[\).
- Vérifier que \(f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2 - 1\). (1 pt)
- En écrivant \(f = g\circ u\) avec \(u(x) = \sqrt{x}\), étudier les variations de \(f\). (4 pts)
- Montrer que \(f\) est minorée et préciser son minimum. (2 pts)
- Résoudre \(f(x) = 3\). (3 pts)
Correction
- \((\sqrt x - 1)^2 - 1 = x - 2\sqrt x\).
- \(g(t) = (t - 1)^2 - 1\) décroissante sur \([0 ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\) ; \(u\) croissante, \(u(x)\in[0 ; 1]\Leftrightarrow x\in[0 ; 1]\). Donc \(f\) décroissante sur \([0 ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\).
- Minimum \(f(1) = -1\).
- \((\sqrt x - 1)^2 = 4\), \(\sqrt x - 1 = 2\) (l'autre cas donne \(\sqrt x = -1\)) : \(x = 9\).
Exercice 2 (10 pts)
Soit \(g(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}\).
- Déterminer \(D_g\) et montrer que \(g(x) = x - 1 + \frac{1}{x - 1}\). (2 pts)
- Montrer que \(\Omega(1 ; 0)\) est un centre de symétrie de \((C_g)\). (3 pts)
- Montrer que pour tout \(x > 1\), \(g(x)\ge2\). (2 pts)
- Étudier les variations de \(g\) sur \(]1 ; 2]\) et sur \([2 ; +\infty[\). (3 pts)
Correction
- \(D_g = \mathbb{R}\setminus\{1\}\). \(x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1\).
- \(g(2 - x) = (1 - x) + \frac{1}{1 - x} = -g(x)\), donc \(g(2 - x) + g(x) = 0\).
- Avec \(t = x - 1 > 0\) : \(t + \frac1t - 2 = \frac{(t - 1)^2}{t}\ge0\).
- \(g = h\circ u\) avec \(u(x) = x - 1\) croissante et \(h(t) = t + \frac1t\) décroissante sur \(]0 ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\) : \(g\) décroissante sur \(]1 ; 2]\), croissante sur \([2 ; +\infty[\).