Exercice 1
Montrer que \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).
Correction
\(0\le x^2 < x^2 + 1\) donc \(0\le f(x) < 1\).
Exercice 2
Soit \(f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}\). Montrer que \(\Omega(2 ; 1)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
Correction
\(f(4 - x) = \frac{5 - x}{2 - x}\). \(f(4 - x) + f(x) = \frac{5 - x}{2 - x} - \frac{x + 1}{2 - x} = \frac{4 - 2x}{2 - x} = 2 = 2\times1\).
Exercice 3
Étudier la monotonie de \(h(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5}\) sur \(]-\infty ; 2]\) et sur \([2 ; +\infty[\).
Correction
\(h = g\circ f\) avec \(f(x) = (x - 2)^2 + 1\) et \(g = \sqrt{\cdot}\) croissante sur \([1 ; +\infty[\). \(f\) décroissante sur \(]-\infty ; 2]\) et croissante sur \([2 ; +\infty[\) : \(h\) a les mêmes variations.
Exercice 4
Déterminer la période de \(f(x) = \cos(3x) + \sin(2x)\).
Correction
\(\cos 3x\) a pour période \(\frac{2\pi}{3}\) et \(\sin 2x\) a pour période \(\pi\). Le plus petit multiple commun est \(2\pi\) : \(f\) est \(2\pi\)-périodique.
Exercice 5
Soit \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) sur \(]0 ; +\infty[\).
- Calculer \(T(a, b)\) et en déduire les variations de \(f\).
- En déduire que \(f\) est minorée par \(2\).
Correction
- \(T = 1 - \frac{1}{ab} = \frac{ab - 1}{ab}\). Sur \(]0 ; 1]\), \(ab < 1\) : décroissante. Sur \([1 ; +\infty[\) : croissante.
- Le minimum est \(f(1) = 2\).