Exercice 1
Soit \([AB]\) un segment de longueur \(6\). Construire \(G\), barycentre de \((A, 2)\) et \((B, -1)\).
Correction
\(\vec{AG} = \frac{-1}{2 - 1}\vec{AB} = -\vec{AB}\) : \(G\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\), à \(6\) de \(A\).
Exercice 2
Dans un repère : \(A(1 ; 2)\), \(B(3 ; -1)\), \(C(-2 ; 4)\). Déterminer les coordonnées du barycentre \(G\) de \((A, 2)\), \((B, 1)\), \((C, 1)\).
Correction
\(x_G = \frac{2 + 3 - 2}{4} = \frac34\), \(y_G = \frac{4 - 1 + 4}{4} = \frac74\).
Exercice 3
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(G\) le barycentre de \((A, 2)\), \((B, 1)\), \((C, 1)\). Montrer que \(G\) est le milieu de \([AI]\).
Correction
\(I\) est le barycentre de \((B, 1)\), \((C, 1)\). Par associativité, \(G\) est le barycentre de \((A, 2)\) et \((I, 2)\) : c'est le milieu de \([AI]\).
Exercice 4
Soit \(ABC\) un triangle. Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}\| = 6\).
Correction
Soit \(G\) le centre de gravité : \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}\). Donc \(MG = 2\) : cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\).
Exercice 5
Soit \(ABC\) un triangle. Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\|2\vec{MA} - \vec{MB}\| = \|\vec{MB} + \vec{MC}\|\).
Correction
Soit \(G\) le barycentre de \((A, 2)\), \((B, -1)\) (somme des poids \(1\)) et \(I\) le milieu de \([BC]\). Alors \(2\vec{MA} - \vec{MB} = \vec{MG}\) et \(\vec{MB} + \vec{MC} = 2\vec{MI}\). L'égalité devient \(MG = 2MI\) : c'est l'ensemble des points dont le rapport des distances à \(G\) et à \(I\) vaut \(2\), c'est-à-dire un cercle (cercle d'Apollonius).