Produit scalaire et cercle — Examen (2 h) — 1ère année Bac Sciences Mathématiques

Durée : 2 heures. Barème sur 20. Repère orthonormé direct.

Soient \(A(2 ; 1)\), \(B(4 ; 5)\), \(C(-2 ; 3)\).

Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) et \(\det(\vec{AB}, \vec{AC})\). (2 pts)
En déduire \(\cos\widehat{BAC}\), \(\sin\widehat{BAC}\) et l'aire du triangle \(ABC\). (3 pts)
Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(MB^2 - MC^2 = 8\). (3 pts)

Correction

\(\vec{AB}(2 ; 4)\), \(\vec{AC}(-4 ; 2)\) : produit scalaire \(-8 + 8 = 0\), \(\det = 4 + 16 = 20\).
\(\cos = 0\) ; \(AB = AC = 2\sqrt5\) donc \(\sin = \frac{20}{20} = 1\) : angle droit. Aire \(= 10\).
\(MB^2 - MC^2 = (x - 4)^2 + (y - 5)^2 - (x + 2)^2 - (y - 3)^2 = -12x - 4y + 28 = 8\), soit la droite \(3x + y - 5 = 0\).

Soit \((C) : x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0\).

Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\) de \((C)\). (2 pts)
Vérifier que \(O\in(C)\) et déterminer l'équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) en \(O\). (3 pts)
Soit \((D_m) : y = mx\). Déterminer, selon \(m\), le nombre de points d'intersection de \((D_m)\) et \((C)\). (3 pts)
Donner une représentation paramétrique de \((C)\). (2 pts)
Résoudre graphiquement le système \(x^2 + y^2 - 4x - 2y\le0\) et \(y\ge1\). (2 pts)

Correction

\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5\) : \(\Omega(2 ; 1)\), \(r = \sqrt5\).
\(0 + 0 - 0 - 0 = 0\). Tangente : \(\vec{OM}\cdot\vec{O\Omega} = 0\), soit \(2x + y = 0\).
En substituant : \(x[(1 + m^2)x - (4 + 2m)] = 0\). Si \(m = -2\), une seule solution (\(x = 0\)) : tangente. Sinon, deux points : \(O\) et le point d'abscisse \(\frac{4 + 2m}{1 + m^2}\).
\(x = 2 + \sqrt5\cos\theta\), \(y = 1 + \sqrt5\sin\theta\).
La moitié supérieure du disque de centre \(\Omega\), au-dessus de la droite \(y = 1\) (un demi-disque).