Exercice 1
Calculer \(\cos\frac{\pi}{12}\) et \(\sin\frac{\pi}{12}\) en remarquant que \(\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\).
Correction
\(\cos\frac{\pi}{12} = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}\). \(\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}\).
Exercice 2
Montrer que pour tout \(x\) : \(\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x\).
Correction
\(\cos^4x - \sin^4x = (\cos^2x - \sin^2x)(\cos^2x + \sin^2x) = \cos 2x\).
Exercice 3
Résoudre dans \(]-\pi ; \pi]\) : \(\sqrt3\cos x - \sin x = \sqrt2\).
Correction
\(\sqrt3\cos x - \sin x = 2\cos(x + \frac{\pi}{6})\). L'équation devient \(\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt2}{2}\) : \(x + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi\). Donc \(x = \frac{\pi}{12} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{5\pi}{12} + 2k\pi\). \(S = \{-\frac{5\pi}{12} ; \frac{\pi}{12}\}\).
Exercice 4
Résoudre dans \([0 ; 2\pi[\) : \(\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0\).
Correction
\(2\cos^2x - 1 - 3\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0\) : \(\cos x = 1\) ou \(\cos x = \frac12\). \(S = \{0 ; \frac{\pi}{3} ; \frac{5\pi}{3}\}\).
Exercice 5
Résoudre dans \([0 ; 2\pi]\) : \(2\sin x - 1 > 0\).
Correction
\(\sin x > \frac12\) : sur le cercle, \(x\in]\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}[\).
Exercice 6
Transformer en produit \(\cos x + \cos 3x\) et résoudre \(\cos x + \cos 3x = 0\) dans \(\mathbb{R}\).
Correction
\(\cos x + \cos 3x = 2\cos 2x\cos x\). \(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\) ; \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi\).