Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
- Montrer que pour tout \(x\) : \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\). (3 pts)
- En utilisant \(\sin\frac{3\pi}{10} = \cos\frac{2\pi}{10}\), calculer la valeur exacte de \(\sin\frac{\pi}{10}\). (3 pts)
Correction
- \(\sin 3x = \sin(2x + x) = 2\sin x\cos^2x + (1 - 2\sin^2x)\sin x = 2\sin x(1 - \sin^2x) + \sin x - 2\sin^3 x = 3\sin x - 4\sin^3 x\).
- Avec \(s = \sin\frac{\pi}{10}\) : \(3s - 4s^3 = 1 - 2s^2\), soit \(4s^3 - 2s^2 - 3s + 1 = 0 = (s - 1)(4s^2 + 2s - 1)\). Comme \(0 < s < 1\), \(s = \frac{-1 + \sqrt5}{4}\).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(f(x) = \cos x - \sqrt3\sin x\).
- Écrire \(f(x)\) sous la forme \(r\cos(x + \varphi)\). (2 pts)
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x) = 1\). (3 pts)
- Résoudre dans \([0 ; 2\pi]\) l'inéquation \(f(x)\ge1\). (3 pts)
Correction
- \(f(x) = 2\cos(x + \frac{\pi}{3})\).
- \(\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \frac12\) : \(x = 2k\pi\) ou \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\).
- \(\cos(x + \frac{\pi}{3})\ge\frac12\) avec \(x + \frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3} ; \frac{7\pi}{3}]\) : \(x + \frac{\pi}{3}\in\{\frac{\pi}{3}\}\cup[\frac{5\pi}{3} ; \frac{7\pi}{3}]\), soit \(S = \{0\}\cup[\frac{4\pi}{3} ; 2\pi]\).
Exercice 3 (6 pts)
Résoudre dans \(]-\pi ; \pi]\) : \(\sin 2x = \cos x\).
Correction
\(\cos x(2\sin x - 1) = 0\) : \(\cos x = 0\) donne \(x = \pm\frac{\pi}{2}\) ; \(\sin x = \frac12\) donne \(x = \frac{\pi}{6}\) ou \(\frac{5\pi}{6}\). \(S = \{-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{2} ; \frac{5\pi}{6}\}\).