Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1\).
- Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (2 pts)
- On pose \(v_n = u_n - 2\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique. (2 pts)
- En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\). (2 pts)
Correction
- \(u_1 = 3{,}5\) et \(u_2 = 2{,}75\).
- \(v_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1 - 2 = \dfrac{u_n - 2}{2} = \dfrac12 v_n\) : géométrique de raison \(\dfrac12\), avec \(v_0 = 3\).
- \(v_n = 3\left(\dfrac12\right)^n\), donc \(u_n = 2 + 3\left(\dfrac12\right)^n\).
Exercice 2 (5 pts)
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[\sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
Correction
Initialisation. \(n = 0\) : les deux membres valent \(0\). Hérédité. \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1) + 6(n+1)\right]}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\), qui est la formule au rang \(n+1\).
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(u_n = \dfrac{3n+2}{n+1}\).
- Écrire \(u_n\) sous la forme \(a + \dfrac{b}{n+1}\). (2 pts)
- En déduire la monotonie et un majorant de \((u_n)\). (3 pts)
Correction
- \(u_n = 3 - \dfrac{1}{n+1}\).
- La quantité retranchée décroît : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\).
Exercice 4 (4 pts)
Calculer \(S = 2 + 6 + 18 + \cdots + 2\times3^8\).
Correction
Somme géométrique de premier terme \(2\), de raison \(3\) et de \(9\) termes : \(S = 2\times\dfrac{3^9 - 1}{3 - 1} = 3^9 - 1 = 19\,682\).