Série 2 — majorations, convergence et suites auxiliaires.
Exercice 1
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}\).
- Montrer par récurrence que \(2 \le u_n \le 3\) pour tout \(n\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
Correction
- \(u_0 = 2\) convient. Si \(2 \le u_n \le 3\), alors \(5 \le u_n + 3 \le 6\), donc \(2{,}5 \le u_{n+1} \le 3\) : l'encadrement est conservé.
- \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{3 - u_n}{2} \ge 0\) car \(u_n \le 3\) : la suite est croissante.
Exercice 2
Pour la suite précédente, on pose \(v_n = u_n - 3\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et en déduire \(u_n\).
Correction
\(v_{n+1} = \dfrac{u_n+3}{2} - 3 = \dfrac{u_n - 3}{2} = \dfrac12 v_n\) : géométrique de raison \(\dfrac12\), avec \(v_0 = -1\). Donc \(v_n = -\left(\dfrac12\right)^n\) et \(u_n = 3 - \left(\dfrac12\right)^n\).
Exercice 3
Soit \(u_n = \dfrac{2n - 1}{n + 3}\). Montrer que \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\).
Correction
\(u_n = 2 - \dfrac{7}{n+3}\) : la quantité retranchée décroît, donc \((u_n)\) croît ; de plus \(u_n < 2\).
Exercice 4
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\).
Correction
Initialisation. \(n = 0\) : \(0 = 0\). Hérédité. \(\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2\left(\dfrac{n^2}{4} + n + 1\right) = (n+1)^2\dfrac{(n+2)^2}{4}\), qui est bien \(\left(\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\).
Exercice 5
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) et \((v_n)\) géométrique de raison \(q\). Que vaut \(u_{n+1} - u_n\) ? Et \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\) ? Donner un exemple de suite ni arithmétique ni géométrique.
Correction
\(u_{n+1} - u_n = r\) et \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = q\). La suite \(w_n = n^2\) n'est ni arithmétique (\(w_1 - w_0 = 1\) mais \(w_2 - w_1 = 3\)) ni géométrique.
Exercice 6
Calculer \(S = 1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \cdots + \dfrac{1}{2^{10}}\).
Correction
Somme géométrique de raison \(\dfrac12\) et de \(11\) termes : \(S = \dfrac{1 - \left(\frac12\right)^{11}}{1 - \frac12} = 2\left(1 - \dfrac{1}{2\,048}\right) = \dfrac{2\,047}{1\,024}\).
Exercice 7
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\). Montrer par récurrence que \(1 \le u_n \le 2\).
Correction
\(u_0 = 1\) convient. Si \(1 \le u_n \le 2\), alors \(3 \le u_n + 2 \le 4\), donc \(\sqrt3 \le u_{n+1} \le 2\), et \(\sqrt3 > 1\) : l'encadrement est conservé.